Answer:
La segunda llave requiere de 6 horas para llenar la piscina y la primera llave requiere de 3 horas.
Step-by-step explanation:
Por Física sabemos que el flujo volumétrico ([tex]\dot V[/tex]), medido en litros por hora, es directamente proporcional al volumen de la piscina e inversamente proporcional al tiempo de llenado ([tex]t[/tex]), medido en horas. Entonces, utilizamos la siguiente relación:
[tex]\dot V \propto \frac{1}{t}[/tex]
[tex]\dot V = \frac{k}{t}[/tex] (Eq. 1)
Donde [tex]k[/tex] es la constante de proporcionalidad (volumen de la piscina), medida en litros.
A partir del enunciado, tenemos las siguientes tres ecuaciones:
(i) Dos llaves abiertas a la misma vez llenan en piscina en 2 horas:
[tex]\dot V_{1}+\dot V_{2} = \frac{k}{2}[/tex] (Eq. 2)
(ii) La primera llave lo hace por sí sola en 3 horas menos que la segunda:
[tex]\dot V_{1} = \frac{k}{t-3}[/tex] (Eq. 3)
(iii) Segunda llave:
[tex]\dot V_{2} = \frac{k}{t}[/tex] (Eq. 4)
Al sustituir en (Eq. 2) por (Eqs. 3, 4):
[tex]\frac{k}{t} + \frac{k}{t-3} = \frac{k}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{t}+\frac{1}{t-3} = \frac{1}{2}[/tex] (Eq. 5)
A continuación, resolvemos esta última ecuación por medios algebraicos:
[tex]\frac{t-3+t}{t\cdot (t-3)} = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]2\cdot (2\cdot t-3) = t^{2}-3\cdot t[/tex]
[tex]4\cdot t-6 = t^{2}-3\cdot t[/tex]
[tex]t^{2}-7\cdot t +6 = 0[/tex]
[tex](t-6)\cdot (t-1) = 0[/tex]
De acuerdo con lo anterior, existen dos posibilidades para la segunda llave:
[tex]t_{1} = 1\,h\,\lor\,t_{2} = 6\,h[/tex]
Puesto que el tiempo es una variable positiva y que la primera llave tarda 3 horas menos que la segunda. La única solución factible para la segunda llave es 6 horas y, por ende, la primera llave requiere de 3 horas.
